BAB 3 Vektor

Pengertian Vektor Matematika

Vektor adalah sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor juga dapat digambarkan sebagai panah yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut juga Besar Vektor.

Jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya terdapat tanda garis/ panah seperti atau  atau bisa juga :

Jenis – Jenis Vektor

Vektor juga memiliki beberapa jenis tersendiri, yaitu sebagai berikut :

• Vektor Posisi :

Adalah Suatu vektor yang posisi titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A (a1, a2).

• Vektor Nol :

Adalah Suatu vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan . Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.

• Vektor Satuan :

Adalah Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari =  adalah = 

• Vektor Basis :

Adalah sebuah vektor satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensi (R2) memiliki dua vektor basis yaitu  = (1, 0) dan  = (0, 1).

Macam – Macam Beserta Operasi Vektor

Vektor juga memiliki beberapa macam – macam nya, yaitu sebagai berikut :

• Vektor di R2 :

Panjang sebuah segmen garis yang menyatakan vektor  atau dinotasikan sebagai Panjang vektor yaitu sebagai :

Panjang vektor tersebut ialah dapat dikaitkan dengan sudut  yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x positif.

Operasi Vektor di  R2 :

⇒ Penjumlahan dan Pengurangan Vektor di R2 :

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya dapat disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang juga seletak. Jika  maka :

Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah berikut ini :

Dalam pengurangan vektor ini, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu sebagai berikut ini :

Sifat – sifat dalam penjumlahan vektor adalah sebagai berikut :

⇒ Perkalian Vektor di R2 Dengan Skalar :

Suatu vektor juga dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika  adalah vektor dan k merupakan skalar. Maka perkalian vektor dapat dinotasikan  :

Dengan Keterangan :

• Jika k > 0, maka vektor searah dengan vektor .
• Jika k < 0, maka vektor berlawanan arah dengan vektor .
• Jika k = 0, maka vektor adalah vektor identitas .

Secara grafis perkalian ini juga dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah berikut ini :

Secara aljabar perkalian vektor  dengan skalar k juga dapat dirumuskan sebagai berikut ini :

⇒ Perkalian Skalar Dua Vektor di R2 :

Perkalian skalar dua vektor dapat disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan juga dapat ditulis sebagai :

Contoh Soal Vektor

Contoh Soal 1 :

Diketahui ada titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Apabila titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p + q !

Penyelesaian :

Jika titik – titik A, B, dan C segaris maka vektor  dan vektor  bisa juga searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan bisa membentuk persamaan berikut ini :

Jika B berada diantara titik A dan C, maka akan diperoleh :

Sehingga Dapat Diperoleh :

Maka kelipatan m dalam persamaan :

Diperoleh :

Jadi, dapat disimpulkan :

p + q = 10 + 14 = 24